1. 特征值、特征向量求解¶
① 下图为对矩阵求特征值、求特征向量的相关操作。
2. 标量运算¶
3. 向量运算¶
① 下图中，α是一个标量， $c = αb$是把向量b拉长。
4. 矩阵运算¶
① 矩阵长度叫范数，下图为矩阵范数满足的公式。
5. 特征向量、特征值¶
① 红色、绿色向量都被一个矩阵作用后，红色的大小和方向都被改变了，绿色的仅被改变了大小，没有改变方向。绿色向量为矩阵的特征向量。
6. 线性代数¶
6.1 标量¶
① 标量由只有一个元素的张量表示。
In [1]:
import torch
x = torch.tensor([3.0])
y = torch.tensor([2.0])
print(x + y)
print(x * y)
print(x / y)
print(x ** y)
tensor([5.]) tensor([6.]) tensor([1.5000]) tensor([9.])
6.2 向量¶
6.2.1 创建向量¶
① 可以将向量视为标量值组成的列表。
In [2]:
import torch
x = torch.arange(4)
print(x)
tensor([0, 1, 2, 3])
6.2.2 访问向量元素¶
① 通过张量的索引来访问任一元素。
In [3]:
import torch
x = torch.arange(4)
print(x[3]) # 索引从0开始
tensor(3)
6.2.3 访问向量长度¶
① 访问张量的长度。
In [4]:
import torch
x = torch.arange(4)
print(len(x))
4
6.2.4 访问向量维度¶
① 只有一个轴的张量，形状只有一个元素。
In [5]:
import torch
x = torch.arange(4)
print(x.shape)
torch.Size([4])
6.3 矩阵¶
6.3.1 创建矩阵¶
① 通过指定两个分量m和n来创建一个形状为m×n的矩阵。
In [6]:
import torch
A = torch.arange(20).reshape(5,4)
print(A)
tensor([[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11],
[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19]])
6.3.2 矩阵转置¶
① 矩阵的转置。
In [7]:
import torch
A = torch.arange(20).reshape(5,4)
print(A)
print(A.T) # 矩阵的转置
tensor([[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11],
[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19]])
tensor([[ 0, 4, 8, 12, 16],
[ 1, 5, 9, 13, 17],
[ 2, 6, 10, 14, 18],
[ 3, 7, 11, 15, 19]])
6.3.3 对称矩阵¶
① 对称矩阵（symmetric matrix）A 等于其转置：$A = A^{T}$
In [8]:
import torch
B = torch.tensor([[1,2,3],[2,0,4],[3,4,5]])
print(B)
print(B.T)
print(B == B.T)
tensor([[1, 2, 3],
[2, 0, 4],
[3, 4, 5]])
tensor([[1, 2, 3],
[2, 0, 4],
[3, 4, 5]])
tensor([[True, True, True],
[True, True, True],
[True, True, True]])
6.3.4 多维矩阵¶
① 就像向量是标量的推广，矩阵是向量的推广一样，可以构建更多轴的数据结构。
In [9]:
import torch
X = torch.arange(24).reshape(2,3,4)
print(X)
tensor([[[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]],
[[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19],
[20, 21, 22, 23]]])
6.3.5 矩阵克隆¶
① 给定具有相同形状的任何两个张量，任何按元素二元运算的结果都将是相同形状的张量。
In [10]:
import torch
A = torch.arange(20,dtype=torch.float32).reshape(5,4)
B = A.clone() # 通过分配新内存，将A的一个副本分配给B
print(A)
print(A+B)
tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.],
[16., 17., 18., 19.]])
tensor([[ 0., 2., 4., 6.],
[ 8., 10., 12., 14.],
[16., 18., 20., 22.],
[24., 26., 28., 30.],
[32., 34., 36., 38.]])
6.3.6 矩阵相乘（对应元素相乘）¶
① 两个句子的按元素乘法称为哈达玛积（Hadamard product）（数学符号⊙）
In [11]:
import torch
A = torch.arange(20,dtype=torch.float32).reshape(5,4)
B = A.clone() # 通过分配新内存，将A的一个副本分配给B
print(A)
print(A*B)
tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.],
[16., 17., 18., 19.]])
tensor([[ 0., 1., 4., 9.],
[ 16., 25., 36., 49.],
[ 64., 81., 100., 121.],
[144., 169., 196., 225.],
[256., 289., 324., 361.]])
6.3.7 矩阵加标量¶
In [12]:
import torch
a = 2
X = torch.arange(24).reshape(2,3,4)
print(a + X)
print((a * X).shape)
tensor([[[ 2, 3, 4, 5],
[ 6, 7, 8, 9],
[10, 11, 12, 13]],
[[14, 15, 16, 17],
[18, 19, 20, 21],
[22, 23, 24, 25]]])
torch.Size([2, 3, 4])
6.3.8 向量求和¶
① 计算所有元素的和。
In [13]:
import torch
X = torch.arange(4,dtype=torch.float32)
print(X)
print(X.sum())
tensor([0., 1., 2., 3.]) tensor(6.)
6.3.9 矩阵求和¶
② 表示任意形状张量的元素和。
In [14]:
import torch
A = torch.arange(20*2).reshape(2,5,4)
print(A.shape)
print(A.sum())
torch.Size([2, 5, 4]) tensor(780)
6.3.10 矩阵某轴求和（维度丢失）¶
① 指定张量沿哪一个轴来通过求和降低维度。
In [15]:
import torch
A = torch.arange(20*2).reshape(2,5,4)
print(A)
A_sum_axis0 = A.sum(axis=0) # (2,5,4) 对第一个维度进行求和，剩下两个维度留下来了
print(A_sum_axis0)
print(A_sum_axis0.shape)
tensor([[[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11],
[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19]],
[[20, 21, 22, 23],
[24, 25, 26, 27],
[28, 29, 30, 31],
[32, 33, 34, 35],
[36, 37, 38, 39]]])
tensor([[20, 22, 24, 26],
[28, 30, 32, 34],
[36, 38, 40, 42],
[44, 46, 48, 50],
[52, 54, 56, 58]])
torch.Size([5, 4])
In [16]:
import torch
A = torch.arange(20*2).reshape(2,5,4)
print(A)
A_sum_axis1 = A.sum(axis=1) # (2,5,4) 对第二个维度进行求和，剩下两个维度留下来了
print(A_sum_axis1)
print(A_sum_axis1.shape)
tensor([[[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11],
[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19]],
[[20, 21, 22, 23],
[24, 25, 26, 27],
[28, 29, 30, 31],
[32, 33, 34, 35],
[36, 37, 38, 39]]])
tensor([[ 40, 45, 50, 55],
[140, 145, 150, 155]])
torch.Size([2, 4])
In [17]:
import torch
A = torch.arange(20*2).reshape(2,5,4)
print(A)
A_sum_axis1 = A.sum([0,1]) # (2,5,4) 对第一、二个维度进行求和，剩下一个维度留下来了
print(A_sum_axis1)
print(A_sum_axis1.shape)
tensor([[[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11],
[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19]],
[[20, 21, 22, 23],
[24, 25, 26, 27],
[28, 29, 30, 31],
[32, 33, 34, 35],
[36, 37, 38, 39]]])
tensor([180, 190, 200, 210])
torch.Size([4])
6.3.11 矩阵平均值¶
① 一个与求和相关的量是平均值（mean或average）。
In [18]:
import torch
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
print(A.mean())
print(A.numel())
print(A.sum()/A.numel())
tensor(9.5000) 20 tensor(9.5000)
In [19]:
import torch
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
print(A.mean(axis=0))
print(A.sum(axis=0))
print(A.shape[0])
print(A.sum(axis=0)/A.shape[0])
tensor([ 8., 9., 10., 11.]) tensor([40., 45., 50., 55.]) 5 tensor([ 8., 9., 10., 11.])
6.3.12 矩阵某轴求和（维度不丢失）¶
① 计算总和或均值时保持轴数不变。
In [20]:
import torch
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
sum_A = A.sum(axis=1,keepdims=True) # keepdims=True不丢掉维度，否则三维矩阵按一个维度求和就会变为二维矩阵，二维矩阵若按一个维度求和就会变为一维向量
print(sum_A)
print(sum_A.shape) # 维度没有丢失，方便使用广播
tensor([[ 6.],
[22.],
[38.],
[54.],
[70.]])
torch.Size([5, 1])
6.3.13 矩阵广播¶
① 通过广播将 A 除以 sum_A。
In [21]:
import torch
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
sum_A = A.sum(axis=1,keepdims=True) # keepdims=True不丢掉维度，否则三维矩阵按一个维度求和就会变为二维矩阵，二维矩阵若按一个维度求和就会变为一维向量
print(A/sum_A)
tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000],
[0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182],
[0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895],
[0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778],
[0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])
6.3.14 矩阵某轴累加¶
① 某个轴计算A元素的累加总和。
In [22]:
import torch
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
print(A.cumsum(axis=0))
tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 6., 8., 10.],
[12., 15., 18., 21.],
[24., 28., 32., 36.],
[40., 45., 50., 55.]])
6.3.15 向量点积¶
① 点积是相同位置的按元素成绩的和。
In [23]:
import torch
x = torch.arange(4,dtype=torch.float32)
y = torch.ones(4, dtype=torch.float32)
print(x)
print(y)
print(torch.dot(x,y))
tensor([0., 1., 2., 3.]) tensor([1., 1., 1., 1.]) tensor(6.)
② 可以通过执行按元素乘法，然后进行求和来表示两个向量的点积。
In [24]:
import torch
x = torch.arange(4,dtype=torch.float32)
y = torch.ones(4, dtype=torch.float32)
print(torch.sum(x*y))
tensor(6.)
6.3.16 矩阵向量积¶
① A是一个m×n的矩阵，x是一个n×1的矩阵，矩阵向量积$Ax$是一个长度为m的列向量，其第i个元素是点积$a^{⊤}_{i}x$。
In [25]:
import torch
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
x = torch.arange(4,dtype=torch.float32)
print(A.shape)
print(x.shape)
print(torch.mv(A,x))
torch.Size([5, 4]) torch.Size([4]) tensor([ 14., 38., 62., 86., 110.])
6.3.17 矩阵相乘（线性代数相乘）¶
① 可以将矩阵-矩阵乘法AB看作是简单地执行m次矩阵-向量积，并将结果拼接在一起，形成一个n×m矩阵。
In [26]:
import torch
A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = torch.ones(4,3)
print(A)
print(B)
print(torch.mm(A,B))
tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.],
[16., 17., 18., 19.]])
tensor([[1., 1., 1.],
[1., 1., 1.],
[1., 1., 1.],
[1., 1., 1.]])
tensor([[ 6., 6., 6.],
[22., 22., 22.],
[38., 38., 38.],
[54., 54., 54.],
[70., 70., 70.]])
6.3.18 矩阵L2范数¶
① L2 范数是向量元素平方和的平方根： $\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$
In [27]:
import torch
u = torch.tensor([3.0,-4.0])
print(torch.norm(u))
tensor(5.)
6.3.19 矩阵L1范数¶
① $L_{1}$范数，它表示为向量元素的绝对值之和：$\|\mathbf{x}\|_1 = \sum_{i=1}^n \left|x_i \right|$
In [28]:
import torch
u = torch.tensor([3.0,-4.0])
print(torch.abs(u).sum())
tensor(7.)
6.3.20 矩阵F范数¶
① 矩阵的弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）是矩阵元素的平方和的平方根：$$\|\mathbf{X}\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n x_{ij}^2}$$
In [29]:
import torch
print(torch.norm(torch.ones((4,9)))) # 把矩阵拉成一个向量，然后再求和
tensor(6.)